半直积

更新时间:2022-09-22 09:23

数学中,特别是叫做群论抽象代数领域中,半直积(semidirect product)是从其中一个是正规子群的两个子群形成一个的特定方法。半直积是直积的推广。半直积是作为集合的笛卡尔积,但带有特定的乘法运算。

简介

数学中,特别是叫做群论的抽象代数领域中,半直积(semidirect product)是从其中一个是正规子群的两个子群形成一个群的特定方法。半直积是直积的推广。

定义

设G与H为,θ:H→Aut(G)为群同态。定义为G与H的笛卡尔积,且配有乘法如下

(g,h)(g’,h’)=(gθh(g’),hh’)

则为群,称为G与H的半直积。

一些等价的定义

令G为群,N为G的一个正规子群,并且H是G的一个子群。下列命题等价:

1)G=NH且N∩H={e} (其中e是G的单位元);

2)G=HN且N∩H={e} G的每个元素可以写作唯一的N的一个元素和H的一个元素的积;

3)G的每个元素可以写作唯一的H的一个元素和N的一个元素的积;

4)自然的嵌入H→G, 和自然的投影G→G/N的复合,给出一个在H和G/N之间的同构存在同态G→H,它的像是H本身而其核是N。

如果这些命题中的一个(从而所有)成立,则称G是一个N和H的半直积,或者说G在N上“分裂(splits)”,并写作G = N⋊H。

基本事实

若G是正规子群N和子群H的半直积,而且N和H都是有限的,则G的等于N和H的阶的积。

注意,和直积的情况不同,半直积通常不是唯一的;如果G和G' 是两个群,都包含N为正规子群,并且都包含H为子群,而且二者都是N和H的半直积,则未必G和G' 是同构的。

外半直积

若G是一个N和H的半直积,则映射φ : H → Aut(N) (其中Aut(N)表示N的所有自同构组成的群)(定义为φ(h)(n) = hnh 对于所有H中的h和N中的n)是一个群同态。实际上N, H 和 φ 一起确定了G 最多相差一个同构,如下面所证。

给定任意两个群N和H(不必是某个群的子群)和一个群同态φ : H → Aut(N),我们定义一个新群N ⋉φ H,N和H相对于φ的半直积,如下: 基础的集合是集合直积N × H,而群运算*给定为

(n1, h1) * (n2, h2) = (n1 φ(h1)(n2), h1 h2) 对于所有n1, N中的n2 和H中的h1, h2。这确实定义了一个群;其幺元为(eN, eH)而元素(n, h)的逆为(φ(h)(n), h). N × {eH}是同构于N的正规子群, {eN} × H是同胚于H的子群,而该群是这两个子群在上面给出的意义下的半直积。

反过来假设我们有上述定义的内半直积,也就是说,一个群G有一个正规子群N,一个子群H,并且使得G的每个元素g 可以唯一的写成g=nh的形式,其中n在N中而h在H中。令φ : H→Aut(N)为如下同态

φ(h)(n)=hnh. 则G同构于外半直积N ⋉φ H; 该同构把乘积nh映到2元组(n,h)。在G中,我们有如下规则

(n1h1)(n2h2) = n1(h1n2h1)(h1h2) 而这是上述外半直积的定义的深层原因,也是一个记住它的方便办法。

群的分裂引理(splitting lemma)的一个版本称群G同构于两个群N和H的半直积当且仅当存在短正合序列

和一个群同态r : H → G 使得v o r = idH, H上的恒等映射。在这种情况, φ : H → Aut(N)给出如下

φ(h)(n) = u(r(h)u(n)r(h)).

例子

有 2n个元素的二面体群Dn 同构于循环群Cn 和C2的半直积。这里,C2的非单位元作用于Cn,将元素变成其逆;这是一个自同构因为Cn是交换群

平面的刚体运动群(映射f : R → R 使得x和y之间的欧氏距离等于f(x) 和f(y)之间的距离对于所有在R中的x和y成立)同构于交换群R (描述平移)和正交 2×2矩阵的群O(2)(描述转动和反射)的半直积。每个正交矩阵通过矩阵乘法作用在R上,并且是一个自同构

所有正交n×n矩阵的群O(n)(直观的讲,所有n维空间的所有转动和反射的集合)同构于群SO(n) (所有行列式值为1的正交矩阵,直观的讲n维空间的转动的集合)和C2的准直积。如果我们将C2表示为矩阵{I, R}的乘法群,其中R是n维空间的翻转(也就是行列式为-1的正交对角矩阵),则φ : C2 → Aut(SO(n)) 由φ(H)(N) = HNH^(-1)对所有 在C2中的H 和SO(n)中的N给出。

关系

与直积的关系

假设G是一个正规子群N和子群H的半直积。若H也在G中正规,或者说,若存在一个同态G → N是N上的恒等映射,则G是N和H的直积

两个群N和H的直积可以视为N和H相对于φ(h) = idN (对于所有H中的h)的外半直积。

注意在直积中,因子的次序不重要,因为N × H同构于H × N。这在半直积中不成立,因为两个因子的角色不同。

推广

半直积的构造可以推得更广。在环理论中有一个版本,环的交叉积(crossed product of rings)。一旦构造了群的一个半直积的群环,这可以很自然的看出。还有李代数的半直和。给定拓扑空间上的一个群作用,存在一个相应的交叉积,它通常非交换,即使群是可交换的。这样的环在群作用的轨道空间有重要作用,特别是当该空间不能用常规的拓扑技术处理的时候 - 例如在阿兰·科纳的工作中(细节请参见非交换几何)。

范畴论中也有推广。它们表明了如何从“指标范畴(indexed categories)”构造“纤维范畴(fibred categories)”。这是外准直积的抽象形式。

参看

圈积(Wreath product)

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